オイラーラグランジュ方程式を丁寧に

オイラーラグランジュ方程式でありえんしょうもないところで詰まっていたので、丁寧に導出を書いてみます。
詰まる人おそらく少ないけど、詰まったら抜け出しにくいかも

僕がまず引っかかっていた/引っかかっている点は2つ

おそらく引っかかっていない人にはなぜ引っかかるのか理解できないと思います。

こう書けばおそらく数式で理解できると思います。

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1行目から2行目は変分と積分の交換、4行目から5行目は変分と微分の交換を用いています。

たいていの文献だといきなり5行目を書いているので、 $\delta q$ と $\delta \dot{q}$ を別々に動かしているように見えるんですよね。

実際は単に $q$ に $q+\delta q$ を代入して、微分の線形性を使って別々に描いているだけです。

5,6,7行目は単なる全微分だと思っていますが、ここで詰まる人もいるという記事を見ましたので書いてみました。別々に動くようだけど全微分なのでおｋ。

$\ddot{q}$ は $q$ と $\dot{q}$ で表されるので運動を決定する $L$ もこれら2つを与えればよいはずだと理解しています。