バーチャル寝椅子

電荷が持っている位置エネルギーは、電荷は電場に影響を及ぼしてるんだから、電場で表現できるんじゃないのと言う思考。

位置エネルギーを電場で表す

まず、点電荷いくつかある状態を考えていく。

ここに、点電荷 $Q_1, Q_2, Q_3$ があって、それぞれ $q_1, q_2, q_3$ の電荷をもち、

$Q_1$ と $Q_2$ 、 $Q_2$ と $Q_3$ 、 $Q_3$ と $Q_1$ の距離を、それぞれ $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ とする。

電荷 $q,q'$ が与えられているとき、二つ「で」持つ位置エネルギーUは

$U_{qq'} = V_{q'}q \quad (= V_{q}q') = \frac{qq'}{ 4 \pi \varepsilon_{0} r_{qq'}}$

であるから

これら3点電荷がもつ位置エネルギーUは

${\displaystyle U = \frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}} + \frac{q_2q_3}{4 \pi \varepsilon_0 r_{23}} + \frac{q_3q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r_{31}} }$

いっぱいあるとして、一杯番号振ったら、

$U = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j \neq i}^{N} \frac{q_iq_j}{4 \pi \varepsilon_0 r_{ij}}$

半分にするのは、多角形の対角線の数え上げとかと同じ。

点電荷一個に注目してみると (あるいは、q_iはシグマの外に出せて)

$U = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_i \sum_{j=1, j \neq i}^{N} \frac{q_j}{4 \pi \varepsilon_0 r_{ij}}$

右っ側は $q_j$ の作る電位電場であるから

$U = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_i V_\bar{i}(\vec{x})$

とかける。

ここで、電荷分布を $\rho(\vec{x})$ とすると

$U = \frac{1}{2} \int \rho(\vec{x}) V(\vec{x}) d^3\vec{x}$

$\vec{E}$ ですべて表記するには→ $\rho(\vec{x})$ と $V(\vec{x})$ を消す

$\displaystyle \begin{align} U = \frac{1}{2} \int \rho(\vec{x}) V(\vec{x}) d^3\vec{x} \\= \frac{\varepsilon}{2} \int div(\vec{E}) V(\vec{x}) d^3\vec{x} \end{align}$

$V$ もちゃんと $\vec{E} = gradV$ なわけですから、どうにかできるわけです

$gradV = \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial z}$ だから、部分積分を使って $gradV$ をつくりだせばいい。

(なお、点電荷だろうが連続的だろうが、 $\vec{E}$ は無限まで広がるので積分範囲は $(-\infty, \infty)$ となる)

$\begin{align} U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int div \vec{E} \quad V(\vec{x}) d^3 \vec{x} \\= \frac{\varepsilon_0}{2} \left[ \int div \vec{E} V(\vec{x}) d^3 \vec{x} \right]_{x=-\infty}^{x=\infty} - \int \vec{E}(\frac{\partial}{\partial x}V(\vec{x}) + \frac{\partial}{\partial y}V(\vec{x}) + \frac{\partial}{\partial z}V(\vec{x})) d^3\vec{x} \\= 0 - 0 + \int \vec{E}(-\frac{\partial}{\partial x}V(\vec{x}) - \frac{\partial}{\partial y}V(\vec{x}) - \frac{\partial}{\partial z}V(\vec{x})) d^3\vec{x} \\= \int |\vec{E}|^2 d^3\vec{x} \end{align}$

よって単位面積のエネルギー密度は $|\vec{E}|^2$ と考えられます。

電場の張力

つかれた。高さチョット増やしてUだして偏微分したら出る

電場の圧力

ちょっと横幅増やして偏微分したら出る。

tex書きにくすぎる、紙に書いたのをアップするようにしよう。